6.2 图像卷积

1. 互相关运算

严格来说，卷积层是个错误的叫法，因为它所表达的运算其实是_互相关运算_（cross-correlation），而不是卷积运算。
二维互相关运算

下面代码实现互相关运算：

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def corr2d(X, K):  #@save
    """计算二维互相关运算"""
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum() # 直接运用矩阵元素乘法
    return Y

2. 卷积层

对于二维矩阵，卷积层如下定义：

• 输入 $\mathbf{X}:n_h\times n_w$
• 核 $\mathbf{W}:k_h\times k_w$
• 偏差 $b\in \mathbb{R}$
• 输出 $\mathbf{Y}:(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1)$

• $\mathbf{w}$ 和 $b$ 是可学习的参数

卷积神经网络会自动学习各种核，达到图像识别的目的

# 卷积层
class Conv2D(nn.Module):
    def __init__(self, kernel_size):
        super().__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))

    def forward(self, x):
        return corr2d(x, self.weight) + self.bias

3. 边缘检测简单应用

假设我们有个这样的图像：

X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
X

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])

我们希望检测出这个图像的边缘，这种核应该是

K = torch.tensor([[1.0, -1.0]]) #进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。

检测出来的边缘为：

Y = corr2d(X, K)
Y

现在我们想要学习我们定义的核 K，已知 X 和 Y 的情况下：

# 构造一个二维卷积层，它具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1,1, kernel_size=(1, 2), bias=False)

# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2  # 学习率

for i in range(10):
    Y_hat = conv2d(X)
    l = (Y_hat - Y) ** 2
    conv2d.zero_grad()
    l.sum().backward()
    # 迭代卷积核
    conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.grad
    if (i + 1) % 2 == 0:
        print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')

epoch 2, loss 6.422
epoch 4, loss 1.225
epoch 6, loss 0.266
epoch 8, loss 0.070
epoch 10, loss 0.022

conv2d.weight.data.reshape((1, 2))
# tensor([[ 1.0010, -0.9739]]) 和定义的 K 非常接近

参考文献